MATERI KULIAH ALJABAR LINEAR
Disusun oleh:
Hermanto, M.Kom
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI PRODI TEKNOLOGI INFORMASI
UNIVERSITAS IBRAHIMY SUKOREJO SITUBONDO
2018
DAFTAR ISI
Daftar isi.........................................................................................................................................I Kata pengantar.............................................................................................................................II BAB I –PENDAHULUAN..................................................................................................................III
1.1 Latar belakang...................................................................................................................1
1.2 Tujuan........................................................................................................................................2
1.3 Metode penulisan..................................................................................................3
BAB II – SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS........................................................IV
2.1 Sistem persamaan linier.........................................................................................1
2.2 Eliminasi gauss...............................................................................................2
2.3 Sistem persamaan linier homogen..........................................................................3
2.4 Matriks dan operasi matriks............................................................................................4
2.5 Aturan-aturan ilmu hitung matriks..............................................................5
2.6 Matriks elementer dan metode untuk mencari A-1..........................................6
2.7 Hasil selanjutnya mengenai sistem persamaan dan keterbalikan.......................7
BAB III – DETERMINAN................................................................................................................V
3.1 Fungsi determinan.................................................................................................................1
3.2 Menghitung determinan dengan reduksi baris..................................................2
3.3 Sifat-sifat fungsi determinan...............................................................................3
3.4 Ekspansi kofaktor; Aturan cramer...........................................................................4
BAB IV – VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3...........................................................VI
4.1 Vektor (Geometrik).................................................................................................1
4.2 Norma vektor; Ilmu hitung vektor..........................................................................2
4.3 Hasil kali titik; proyeksi .......................................................................................3
4.4 Hasil kali silang.......................................................................................4
BAB V – RUANG-RUANG VEKTOR.......................................................................................VII
5.1 Ruang – n euclidis............................................................................................................1
5.2 Ruang vektor umum.....................................................................................2
5.3 Sub-Ruang.......................................................................................3
5.4 Kebebasan linier.......................................................................................4
BAB VI – PENUTUP.......................................................................................VII Daftar pustaka.......................................................................................1
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr.Wb
ميح رلا نمح رلا اللَّ مسبِ
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata’ala, karena berkat rahmat- Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aljabar Linear”.
Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear.
Makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua. Amin.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb
BAB I PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.
1.2 TUJUAN
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear yang diberikan oleh dosen kami Irma Yunita, M.Kom. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.
1.3 METODE PENULISAN
Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.
BAB II
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS
2.1 SISTEM PERSAMAAN LINIER
Definisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel.
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
[0
|
1
|
0
|
2]
|
0
|
0
|
1
|
3
|
|
�
|
�
|
� �
|
�
|
�
| ||
A = [�
|
�
|
�] At = [�
|
�
|
ℎ]
| ||
�
|
ℎ
|
� �
2 6 8
|
�
|
�
2
|
4
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Operasi baris pada I yang
menghasilkan E
|
Operasi baris pada E yang
menghasilkan I
|
Kalikanlah baris I dengan c ≠ 0.
|
Kalikanlah baris I dengan 1⁄�
|
Pertukarkan baris I dan baris j.
|
Pertukarkan baris i dan baris j.
|
Tambahkan c kali baris I ke baris j.
|
Tambahkan – c kali baris i ke baris j.
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
a11
a21
a12 ...
a22...
a1n
a2n
b1
2
am1
am2
amn
bm
Contoh :
2x1 3x2 4
3x1 4x2 5
2 3 4
3 4 5]
Solusi ( Pemecahan ) SPL, di bagi menjadi 2, yaitu :
1. Konsisten
Solusi Tunggal
Solusi Banyak
2. Tidak Konsisten
Contoh : Solusi Tunggal
g1=2x−3y=6
��2 = 3� + � =4
������ 𝑝𝑒�������=������ 𝑣�����𝑒�
� = �
Contoh : Solusi Banyak
g1 = 2x - 3y = 6 g2 = 2x – 3y =6
m < n
Contoh : Tidak Konsisten
�1 = 2� − 3� = 6
�2 = 2� − 3� = 8
0 = −2
0 = Konstanta
2.2 ELIMINASI GAUSS
Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris
terreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat berikut.
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (Kita namakan 1 utama).
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain. Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form).
Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution).
maka kita memprosesnya sebagai berikut :
Langkah 1.
Pecahkanlah persamaan-persamaan tersebut untuk peubah-peubah utama.
x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5
x3 = 1 – 2x4 – 3x6
x6 = 1
3
Langkah 2.
Mulailah dengan persamaan bawah dan bekerjalah ke arah atas, substitusikan secara keseluruhan masing-masing persamaan ke dalam semua persamaan yang di atasnya.
Dengan mensubstitusikan x6 = 1 ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan
3
x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1
3
Dengan mensubstitusikan x3 = – 2x4 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan
x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5
x3 = – 2x4
x6 = 1
3
Langkah 3.
Tetapkanlah nilai-nilai sebarang pada setiap peubah tak utama.
Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus
x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = 1
3
Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.
2.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN
Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk
a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0
a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0
: : : :
am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0
Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2
= 0,….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution).
Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan
atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut.
Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara pernyataan berikut benar.
1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.
2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut.
Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan.
2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
A = [
�11 �12
�21 �22
↓ ↓
�13 = �1�
�23 = �2�
↓ ↓ ]
��1 ��2
��3 = ���
Operasi Matriks
1. Penjumlahan :
Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A
+ B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak
dapat di tambahkan.
� � � �
A =[� �] , B =[� ℎ]
A + B = [� �]+[� �] = [� + � � + �]
� � � ℎ
� + � � + ℎ
1 3 4
Contoh : A = [1 3] , B = [3 4] , C = [2 3 1]
4 5
A + B = [4 7]
5 8
1 3 3 4 5
Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.
2. Perkalian dengan konstanta
Definisi : Jika A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.
c [� �
�� ��
� �] = [�� ��]
1 3 4
2 6 8
Contoh : A = [2 3 1] , maka 2A = [4 6 2 ]
3 4 5
6 8 10
3. Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o
Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B.
Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.
� � �
A = [� �], B = [�]
� � �
�� + ��
AB = [� �] [�]= [�� + ��]
Contoh : A = [1 3] , B = [3
4 5 2
AB = [ 9 ]
22
Transpose
Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah
baris ketiga dari A, dan seterusnya.
Contoh : A = [4 6 2 ] At = [6 6 8 ]
6 8 10
8 2 10
2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS
Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama.
Contoh:
Tinjaulah matriks-matriks
1 0
A
1 2
B
Dengan mengalikannya maka akan memberikan
1
AB 11
2
3 6
BA 3
Jadi, AB ≠ BA
Contoh:
Tinjaulah matriks 2x2
Jika ad – bc ≠ 0, maka
a b
A
c
1 d
A1
b
d
ad bc
b
ad bc
ad bc c a
c
a
ad bc
ad bc
Teorema: Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka
(a) AB dapat dibalik
(b) (AB) 1 = B 1 A 1
Bukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A
1 1
) = (B
1 1
)(AB)=I, maka kita
telah secara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB)
= B A
Tetapi (AB)(B
) = AIA
= AA
= I. Demikian juga (B
1 1
)(AB) = I.
2.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1
Dibawah ini kita daftarkan matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.
(i)
1 0
0 3
1
0
0
(ii) 0
0 0 0
0 0
0 1 0
1 0
1 0
0 1
(iii) 0 0
3
1
1 0
0 1
(iv) 0 0
0
1
Ketika baris kedua I2 dengan -3
Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari I4
Tambahkan tiga kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama
Kalikan baris pertama dari I3 dengan I
Teorema: Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada
A.
Operasi-operasi di ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi
yang bersesuaian di ruas kiri.
Teorema: Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.
Bukti. Jika E adalah matriks elementer, maka E dihasilkan dari peragaan operasi baris pada
I. Misalnya Eo adalah matriks yang dihasilkan bila invers operasi ini diterapkan pada I. Baris invers akan saling meniadakan efek satu sama lain, maka diperoleh
EoE = I dan EEo = I
Jadi, matriks elementer Eo adalah invers dari E.
A I = I A-1
Contoh :
1 0
1
A = 4 1
2
8
A-1 = . . . ?
Jawab :
= [0 −1 −1
0 1 0
1 0 2
= [0 1 0
0 −1 −1
1 0 2
= [0 1 0
0 1 1
1 0 2
= [0 1 0
0 0 1
−2 1 0]
−4 0 1
1 0 0
−4 0 1]
−2 1 0
1 0 0
−4 0 1]
2 −1 0
1 0 0
−4 0 1 ]
6 −1 −1
Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke
3 dikurang 4 kali baris pertama untuk mendapatkan nol.
Baris ke 2 ditukar baris
Baris ke 3 dikalikan – baris ke 3, untuk mendapatkan 1 utama.
Baris ke 3 dikurangi baris ke 2 untuk mendapatkan nol.
I A-1
2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAN DAN KETERBALIKAN
Teorema: Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik,maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pecahan, yakni, X = A-1
AX = B → X = �
�
→ I . B = B
A . �⏟−1 . � = B A . X = B
X = A-1 . B
X . A = B X . . . ?
Jawab: B . I = B
�⏟. �−1 . A = B
X . A = B
X = B . A-1
